Fermat 360

Pierre de Fermat, raadsheer in Toulouse: waarom Fermat 360 zo heet

· 9 min lezen

Ergens in de jaren dertig van de zeventiende eeuw schreef een raadsheer uit Toulouse een aantekening in de marge van zijn exemplaar van de Arithmetica, een Grieks rekenboek uit de oudheid. Hij beweerde dat een bepaalde vergelijking geen oplossingen in gehele getallen heeft, en voegde eraan toe dat hij daarvoor een werkelijk wonderbaarlijk bewijs had gevonden, maar dat de marge te smal was om het te bevatten. Dat bewijs heeft niemand ooit gezien. De bewering werd bekend als de laatste stelling van Fermat, en het duurde ruim 350 jaar voordat iemand haar bewees.

De schrijver van die aantekening, Pierre de Fermat, geldt als een van de grootste wiskundigen van de zeventiende eeuw. Toch was wiskunde niet zijn beroep. Ruim dertig jaar was hij raadsheer aan het Parlement van Toulouse, een van de hoogste rechtscolleges van Frankrijk. De wiskunde deed hij ernaast, en vrijwel alles wat we ervan weten, staat in brieven aan andere geleerden.

Fermat 360 is naar hem vernoemd. Dit stuk gaat over de jurist achter de wiskunde: wie hij was, wat zijn werk als rechter inhield, wat hij in zijn vrije uren ontdekte, en waarom dat een passende naamgever is voor een platform dat juridische vragen beantwoordt.

Een koopmanszoon uit Beaumont-de-Lomagne

Fermat werd geboren in Beaumont-de-Lomagne, een stadje ten noordwesten van Toulouse. Wanneer precies, is onzeker. Lang gold 1601 als zijn geboortejaar, omdat er op 20 augustus van dat jaar een Pierre Fermat werd gedoopt, zoon van Dominique Fermat. Archiefonderzoek van de Duitse wiskundehistoricus Klaus Barner maakt een geboorte rond 1607 waarschijnlijker. Het grafschrift vermeldt dat Fermat op zijn zevenenvijftigste stierf, en het kind uit 1601 was vermoedelijk een jong gestorven halfbroer met dezelfde naam, uit het eerste huwelijk van zijn vader[1].

Zijn vader was een welgestelde koopman die handelde in huiden, tot in Italië, Spanje en Engeland, en die een tijd een van de consuls van het stadje was[2, 3]. Zijn moeder, Claire de Long, kwam uit een familie van magistraten. Fermat studeerde rechten aan de universiteit van Orléans en behaalde daar een graad in het burgerlijk recht, volgens Barner in 1626, volgens oudere literatuur pas in 1631. Eind jaren twintig woonde hij in Bordeaux. Daar leerde hij het werk kennen van de wiskundige François Viète, en daar begon zijn eigen wiskunde[2].

Raadsheer aan het Parlement van Toulouse

Een parlement was in het Frankrijk van vóór de Revolutie geen volksvertegenwoordiging, maar een rechtscollege: een hof dat in hoogste instantie recht sprak. Het Parlement van Toulouse was een van de oudste van het land, met rechtsmacht over de Languedoc en een groot deel van het zuidwesten.

Rechters kochten hun ambt. Dat was gebruikelijk: ambten in de rechtspraak waren in Frankrijk koopwaar, en sinds 1604 konden ze tegen een jaarlijkse heffing ook worden vererfd. Eind december 1630 sloot Fermat een voorovereenkomst met de weduwe van raadsheer Pierre de Carrière over diens ambt, voor 43.500 livres. Op 14 mei 1631 werd hij beëdigd. Dat jaar trouwde hij ook, met Louise de Long, de dochter van een raadsheer. Ze kregen vijf kinderen[2].

Het ambt bracht een titel mee. Als raadsheer mocht Fermat zich écuyer noemen en ‘de’ voor zijn naam zetten: zo werd Pierre Fermat Pierre de Fermat[2]. Hij begon in de chambre des requêtes, waar zijn eerste arrest dateert van december 1632. In januari 1638 ging hij naar de chambres des enquêtes, in het najaar van 1652 naar de Tournelle, de strafkamer, en in november 1654 naar de Grand’Chambre, de hoogste kamer van het parlement. Hij bleef zijn hele loopbaan gewoon raadsheer; president werd hij nooit[2].

Een bijzonder deel van zijn werk speelde zich af in Castres. Daar zetelde de Chambre de l’Édit, een kamer van het parlement waarin katholieke en protestantse rechters samen zaten om zaken te beslechten waarbij protestanten betrokken waren. Zo’n gemengde kamer bestond in de Languedoc sinds 1579; het Edict van Nantes van 1598 hield haar in stand. Fermat, zelf katholiek, werd er in 1638 voor het eerst voor aangewezen en diende er daarna nog vier termijnen van twee jaar. Geen andere raadsheer werd zo vaak herbenoemd[2].

In 1652 en 1653 trof een pestepidemie Toulouse. Ook Fermat werd ziek. Op 21 april 1653 schreef de Toulousaanse geleerde Bernard Medon aan de Nederlandse geleerde Nicolaas Heinsius dat ‘de grote Fermat’ was overleden. Tien dagen later moest hij dat herroepen: Fermat leefde nog, en men hoopte op zijn herstel[4].

Recht zonder motivering

Het werk van een raadsheer was niet alleen papierwerk. Op 9 januari 1658 veroordeelden de Grand’Chambre en de Tournelle samen de priester Raymond Delpoy, vicaris van Magrie, tot de dood door ophanging; zijn lichaam werd daarna verbrand en de as werd verstrooid. Fermat was in die zaak rapporteur: de raadsheer die het dossier bestudeerde, er verslag van uitbracht en het arrest voorbereidde. Barner leest de zaak als een gerechtelijke moord waarop de eerste president van het parlement had aangestuurd, en vermoedt dat Fermat het er niet mee eens was. Dat laatste is zijn interpretatie; de stukken zelf zeggen het niet[5].

Wat in zo’n arrest ontbreekt, is een motivering. Rechters gaven onder het Ancien Régime geen redenen voor hun beslissingen. Geen wet verbood het, maar het was een vaste gewoonte, die standhield tot de Revolutie; pas in 1790 werd motiveren in Frankrijk verplicht[6]. Het arrest in de zaak-Delpoy vermeldt welke stukken het hof heeft gezien en waartoe het veroordeelt, en daartussen niets[5].

Hoe goed was Fermat als jurist? De bronnen spreken elkaar tegen. Eind 1663 ontving Colbert, de minister van Lodewijk XIV, geheime notities over de leden van alle parlementen. Over Fermat staat daar dat hij ‘een man van grote eruditie’ is ‘die met geleerden overal briefwisseling voert, maar nogal op zijn eigen belang uit is; hij is geen al te goede rapporteur en is verward’[7]. Dezelfde notitie vermeldt dat hij niet tot de vrienden van de eerste president behoorde, en Barner houdt het ervoor dat het oordeel van die president zelf afkomstig was[2]. Het Journal des Sçavans schreef bij zijn dood juist dat hij gold als ‘een van de grootste rechtsgeleerden van zijn tijd’[8].

Fermat stierf op 12 januari 1665 in Castres, tijdens zijn laatste termijn bij de Chambre de l’Édit. Zijn laatste arrest dateert van drie dagen eerder[2].

Wiskunde in de vrije uren

Fermat publiceerde vrijwel niets. Zijn wiskunde bestaat uit brieven aan geleerden in Parijs en elders, onder wie de pater Marin Mersenne, die een netwerk van wiskundigen door heel Europa onderhield, en Blaise Pascal, en uit aantekeningen die zijn zoon Clément-Samuel na zijn dood uitgaf[8]. Toch staat zijn naam aan het begin van meerdere vakgebieden.

  • Analytische meetkunde. Rond 1636 beschreef hij hoe je lijnen en krommen kunt weergeven met vergelijkingen, onafhankelijk van René Descartes, wiens Géométrie in 1637 verscheen[8].
  • Raaklijnen en uitersten. Hij vond een methode om de raaklijn aan een kromme en het hoogste of laagste punt ervan te bepalen, een voorloper van de differentiaalrekening. Laplace noemde hem in 1814 ‘de ware uitvinder van de differentiaalrekening’[9].
  • Kansrekening. In 1654 werkte hij in een briefwisseling met Pascal het ‘probleem van de punten’ uit: hoe verdeel je de inzet eerlijk als een kansspel halverwege wordt afgebroken? Een vraag die een jurist bekend voorkomt, en een briefwisseling die geldt als het begin van de kansrekening[10].
  • Optica. Hij leidde de breking van licht af uit het beginsel dat licht de weg kiest die de minste tijd kost, tegenwoordig het principe van Fermat[8].
  • Getaltheorie, zijn grote liefde. In 1640 schreef hij aan Bernard Frénicle de Bessy wat nu de kleine stelling van Fermat heet, een van de wiskundige pijlers onder de RSA-versleuteling, en aan Mersenne welke priemgetallen de som van twee kwadraten zijn. Een bewijs stuurde hij zelden mee[8].

Niet alles klopte. Fermat vermoedde dat alle getallen van de vorm 22n + 1 priemgetallen zijn. Voor de eerste vijf is dat zo, maar in 1732 liet Leonhard Euler zien dat het volgende, 4.294.967.297, deelbaar is door 641[11].

Een marge die te smal was

Fermat las de Arithmetica van Diophantus in de Grieks-Latijnse uitgave van Claude-Gaspard Bachet uit 1621. Bij een opgave over het splitsen van een kwadraat in twee kwadraten, zoals 25 = 16 + 9, noteerde hij dat dit voor hogere machten onmogelijk is: geen derde macht is de som van twee derde machten, geen vierde macht de som van twee vierde machten, en zo verder voor elke macht groter dan twee. In formule: xn + yn = zn heeft voor n groter dan 2 geen oplossing in positieve gehele getallen. Daarachter staat de beroemde zin[8]:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

‘Ik heb hiervoor een werkelijk wonderbaarlijk bewijs gevonden. Deze marge is te smal om het te bevatten.’

De aantekening is niet gedateerd; meestal wordt rond 1637 aangenomen. Fermats eigen exemplaar is verloren gegaan. We kennen de tekst doordat zijn zoon in 1670 een nieuwe uitgave van Diophantus liet drukken, met de aantekeningen van zijn vader erbij[8].

Een bewijs is nooit gevonden. Het enige bewaarde bewijs van Fermat dat deze kwestie raakt, dekt alleen de vierde macht, met een methode die hij ‘oneindige afdaling’ noemde: uit elke oplossing volgt een kleinere, en dat kan niet eindeloos doorgaan. Later legde hij de gevallen van de derde en de vierde macht aan anderen voor als uitdaging, maar de algemene bewering herhaalde hij in zijn bewaarde brieven nergens[8]. Of hij werkelijk een bewijs had, weet niemand.

Het bewijs kwam er pas aan het eind van de twintigste eeuw. De Britse wiskundige Andrew Wiles kondigde het in juni 1993 aan in Cambridge. Bij het nalezen bleek er een gat in te zitten, dat hij in september 1994 dichtte, mede dankzij werk met Richard Taylor. In 1995 verscheen het in de Annals of Mathematics, ruim honderd bladzijden lang[12, 13]. In een marge had het inderdaad niet gepast.

Waarom Fermat 360 zo heet

In Fermat kwamen twee dingen samen die voor dit platform centraal staan: het recht, en de strengheid van een bewijs. Als raadsheer werkte hij met dossiers en met de vraag wat er werkelijk vaststaat. Als wiskundige werkte hij in een vak waarin een bewering pas iets waard is als je laat zien waarom zij klopt.

Er zit ook een ironie in, en die nemen we graag mee. Fermats arresten gaven geen redenen, zoals in zijn tijd gebruikelijk was. Zijn beroemdste wiskundige zin is een bewering waarvan het bewijs ontbreekt, en tijdgenoten moesten hem vaak op zijn woord geloven, soms ten onrechte, zoals Euler liet zien. Het recht is sindsdien dezelfde kant op gegaan als de wiskunde. In Frankrijk moet een rechter zijn beslissing sinds 1790 motiveren, en in Nederland bepaalt artikel 121 van de Grondwet dat vonnissen ‘de gronden inhouden waarop zij rusten’.

Dat is de maatstaf waarnaar Fermat 360 is gebouwd. Elk antwoord laat zien waarop het rust: de uitspraak, het wetsartikel, de passage. Een bewering die u niet kunt nagaan, is in de juridische praktijk weinig waard. Daarom staat de bron niet in een marge die te smal is, maar direct bij de bewering.

En de 360? Die staat voor het totaalbeeld. Een juridische vraag raakt zelden maar één bron. Fermat 360 brengt Nederlandse en Europese rechtspraak, landelijke, decentrale en Europese regelgeving, tuchtrecht en de stukken van uw eigen kantoor samen in één omgeving, zodat u een vraag van alle kanten kunt bekijken: de cirkel rond.

Op Fermats grafschrift, dat nu in het Musée des Augustins in Toulouse wordt bewaard, staat een raad die hij zelf goed lijkt te hebben opgevolgd[14]:

Vis scire quiddam quod juvet? Nesciri ama.

‘Wilt u iets weten dat u verder helpt? Heb het lief onbekend te blijven.’

Wij hopen dat hij het ons vergeeft dat we zijn naam toch wat bekender maken.

Bronnen

  1. Barner, K. (2001). How old did Fermat become? NTM. Internationale Zeitschrift für Geschichte und Ethik der Naturwissenschaften, Technik und Medizin, 9(4), 209–228.
  2. Barner, K. (2009). Pierre Fermat. Sa vie privée et professionnelle. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, Mathématiques, 18(S2), 119–135. doi.org/10.5802/afst.1231
  3. Mahoney, M. S. (1971). Fermat, Pierre de. In C. C. Gillispie (red.), Dictionary of Scientific Biography, deel IV. New York: Scribner. mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Fermat.pdf
  4. Burmann, P. (red.) (1727). Sylloges epistolarum a viris illustribus scriptarum, deel V. Leiden; brieven van Bernard Medon aan Nicolaas Heinsius, nrs. DXLII–DXLIV. archive.org/details/b30413618_0005
  5. Barner, K. (2008). Fermat et l'affaire Delpoy. Rechtsgeschichte – Legal History, 12, 74–101. doi.org/10.12946/rg12/074-101
  6. Dauchy, S. & Demars-Sion, V. (2004). La non-motivation des décisions judiciaires dans l'ancien droit : principe ou usage ? Revue historique de droit français et étranger, 82, 171–188. hal.science/halshs-00678392
  7. Depping, G. B. (red.) (1851). Correspondance administrative sous le règne de Louis XIV, deel II. Paris, p. 112. archive.org/details/correspondancead02depp
  8. Tannery, P. & Henry, C. (red.) (1891–1922). Œuvres de Fermat. Paris: Gauthier-Villars, vier delen en een supplement. archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm
  9. Laplace, P.-S. (1814). Essai philosophique sur les probabilités. Paris: Courcier, p. 54.
  10. Ore, O. (1960). Pascal and the Invention of Probability Theory. The American Mathematical Monthly, 67(5), 409–419. doi.org/10.1080/00029890.1960.11989521
  11. Euler, L. (1738). Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 6, 103–107 (voorgedragen in 1732). scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/26/
  12. Wiles, A. (1995). Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem. Annals of Mathematics, 141(3), 443–551. doi.org/10.2307/2118559
  13. Taylor, R. & Wiles, A. (1995). Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics, 141(3), 553–572. doi.org/10.2307/2118560
  14. Musée des Augustins (z.d.). Épitaphe de Pierre de Fermat (inv. RA 572). Collectie online, Toulouse. collections.augustins.toulouse.fr/fr/notice/ra-572-epitaphe-de-dom-petri-de-fermat-2e6a3a71-41ad-4b17-a4b9-f29e11881b22